Dall'analogico al digitale: L'acquisizione dei dati.

In questa pagina vengono approfonditi i concetti teorici inerenti la conversione di un segnale analogico in uno digitale. Questo tipo di conversione risulta vantaggiosa perché, pur perdendo l'apparente accuratezza di un segnale analogico, il segnale digitale è più robusto ai disturbi e può essere facilmente elaborato dai computer: mentre l'elaborazione analgica infatti richiedeva una circuiteria fortemente dipendente dal tipo di segnale e dalla natura del misurando, l'elaborazione digitale può usare lo stesso hardware per una vasta gamma di grandezze fisiche siano esse suoni, immagini, temperature ecc... delegando al software la successiva elaborazione. Rimane però il problema che in questo tipo di conversione si ha una "perdita di informazioni" sia nel dominio del tempo che nel dominio della tensione (ossia il valore dell'onda sonora, della temperatura ecc...). Infatti un segnale per essere trasformato in digitale è, come vedremo meglio, prima acquisito in determinati precisi istanti e non è quindi "registrato" con continuità (questa operazione si chiama campionamento) e poi il valore campionato è approssimato a un multiplo intero di una grandezza di riferimento detta quanto (questa approssimazione si definisce quantizzazione e il valore così approssimato viene detto livello). È chiaro che un segnale così ottenuto è ben diverso dal segnale "continuo" (rappresentabile da "numeri reali") e "tempo continuo" (ossia che graficato costituisce una funzione continua rispetto al tempo).
Affinchè il segnale discreto (rappresentabile, per semplificare il concetto, da "numeri interi") e tempo discreto (il segnale digitale) mantenga le stesse caratteristiche del segnale di partenza (analogico), devono essere soddisfatti alcune caratteristiche nel campionamento che vedremo successivamente (più precisamente quando si affroonterà il teorema di Shannon). In Figura 1 viene presentato il confronto tra un segnale analogico e un segnale digitale.

Premettiamo che qui ipotizzeremo l'acquisizine di un segnale periodico... se non fosse periodico infatti andrebbe osservato rigorosamente per un tempo infinito per poter fare delle conclusioni matematicamente corrette.

Il campionamento

Per poter essere elaborato un segnale senza disporre di infiniti dati che corrisponderebbero alla necessità di possedere una memoria di calcolo infinita, è necessario campionare ossia "registrare" la grandezza in precisi istanti. A tale scopo distingueremo:

• il campionamento istantaneo
• il campionamento naturale

Il primo tipo di campionamento è solo teorico ma ci può servire per indagare meglio e con più semplicità alcuni teoremi.

Il campionamento istantaneo e il Teorema di Shannon

Dato un segnale v(t) da campionare nel dominio del tempo (Figura 2A), questo è anche rappresentabile nel dominio della frequenza con uno spettro V(f) (Figura 2B).

Ora ipotizziamo di avere un impulso δ(t) ossia un segnale avente valore 0 sempre tranne in un dato istante (al tempo 0 s) in cui assume valore 1 Figura 3A (in realtà si dovrebbe parlare di area unitaria sottesa dal segnale... si tratta di una semplificazione). Questo segnale impulsivo possiede uno spettro: il suo spettro D(f) assume valore costante nel dominio della frequenza Figura 3B.

Se anziché un singolo impulso δ(t) si disponesse di un "treno di impulsi" c(t) (Figura 4A) ossia una serie teoricamente infinita di impulsi tutti equidistanziati di multipli t_c nel dominio del tempo, sarebbe dimostrabile che a tale treno nel dominio del tempo corrisponderebbe un analogo treno nel dominio della frequenza C(f) ("impulsi" equidistanziati di multipli di 1/t_c) come mostrato in Figura 4B. Questa frequenza viene dette frequenza di campionamento:
f_c=1/t_c

Ora moltiplichiamo il segnale analogico v(t) per il treno di impulsi (Figura 5A), si ottiene un segnale v_c(t) sempre nullo ma che negli istanti "k" multipli di t_c (kt_c) assume proprio il valore di v(kt_c). A questo segnale campionato corrisponde uno spettro V_c(f) che è la ripetizione periodica dello spettro originale Figura 5B. Si nota che lo spettro del segnale originale V(f) si ripete ogni 1/t_c: ha la stessa "periodicità" dello spettro del treno di impulsi. Questo viene mostrato in Figura 5B.

Ora dal confronto della Figura 5 con la Figura 2 risulta immediato che il segnale campionato possiede dentro il suo spettro il segnale originale (il primo periodo della ripetizione a cavallo della frequenza nulla). Quindi se si filtrasse (passa basso) il segnale campionato si otterrebbe il segnale analogico originale! Questo passaggio è possibile solo sotto precise condizioni: se la frequenza di campionamento fosse troppo bassa, infatti, le ripetizioni periodiche dello spettro originale si "calpesterebbero" sovrapponendosi, si otterrebbe uno spettro falsato e non sarebbe possibile ricostruire il segnale originale mediante un filtro passa basso (tale problema viene detto "Aliasing"). Risulta anche intuitivo che più vicini sono tra di loro i campioni nel tempo, maggiormente il segnale campionato sarà fedele all'originale. Ma è anche chiaro che più vicini sono i campioni tra di loro più ne stiamo memorizzando e il dispendio di memoria sarebbe inaccettabile. Viceversa meno campioni ho e meno spreco la memoria ma più rischio l'Aliasing. In nostro aiuto giunge il teorema di Shannon il quale afferma che un segnale analogico con spettro limitato ad f_max affinchè una volta campionato non si alteri lo spettro originale (non ci sia Aliasing) debba essere campionato con una frequenza di campionamento f_c pari al doppio di f_max.
f_c > 2·f_max
Questo concetto è illustrato in Figura 6.

La minima frequenza di campionamento (pari al doppio di f_max) viene anche detta frequenza di Nyquist.
Il disturbo detto "aliasing" si presenta tipicamente come un disturbo a bassa frequenza e precisamente di frequenza pari alla differenza tra f_c e f_max.
Dovendo campionare a una frequenza doppia della frequenza massima del segnale analogico risulta evidente che il segnale analogico deve avere una banda limitata (se avesse infatti una banda infinita si dovrebbe campionare con una frequenza doppia dell'infinito... che costituisce un assurdo!). Se la banda non fosse limitata, prima di acquisire il segnale, questo va posto in ingresso ad un filtro passa basso che, scartando le componenti ad alta frequenza, limita a una determinata f_max la massima frequenza del segnale in uscita dal filtro. Questo comporta sì un'approssimazione ma è comunque un errore accettabile rispetto all'aliasing che ci sarebbe in assenza del filtro.
Facciamo un esempio: si vuole acquisire un segnale periodico dato da un'onda quadra di periodo
T=1 ms
e frequenza f:
f=1/T= 1kHz
e quindi di frequenza pari a 1 kHz. Innanzitutto andrebbe acquisito per periodi interi (per evitare altri tipi di errori detti di "lackage" che non verranno affrontati nella nostra trattazione di base), rimane ora da determinare la frequenza di campionamento da utilizzare; questa deve essere il doppio della frequenza massima ossia il doppio di 1 kHz che sarebbe 2 kHz? NO! Infatti un'onda quadra (Figura 7A) ha uno spettro illimitato (Figura 7B) con armoniche di frequenza multipla intera della frequenza dell'onda quadra, detta frequenza fondamentale. Si deve quindi decidere di limitare mediante un filtro passa basso la banda dello spettro del segnale ad esempio alla quinta armonica: tale frequenza sarà f_max. La frequenza di campionamento deve essere almeno il doppio di questa armonica e quindi:
f_c>2·f_max e quindi:
f_c>2·5·f_max
f_c>10 kHz

Il campionamento naturale

Nella realtà il campionamento di un segnale analogico non è "istantaneo" cioè con treni di impulsi ideali: segnali sempre nulli ma che assumono valore unitario solo in corrispondenza degli istanti di tempo k·t_c. Il segnale campionatore ha una durata τ non infinitesima ma dell'ordine dei ns (a seconda del tipo di circuito di acquisizione schematizzato in Figura 8A). Si generano così treni non di impulsi ma di onde quadre aventi t_on pari proprio a τ (Figura 8B). Il risultato del campionamento naturale è mostrato in Figura 8C

In Figura 9 viene confrontato un segnale campionato in maniera istantanea (caso ideale) o naturale (caso reale).

In Figura 10 vengono illustrate le varie fasi del campionamento naturale: si distingue una fase di "inseguimento del segnale" (sample) che e una fase di congelamento del segnale (hold) che consente la conversione da analogico a digitale del segnale di ingresso. Se la fase di sample è gran parte del ciclo S/H si usare spesso anche il termine track al posto della parola sample.

C'è da aggiungere, infine, che anche il ciclo sample-hold non è ideale (tempi di commutazione nulli e tensione di uscita che segue fedelmente l'ingresso quando si è in sample e che rimane costante nella fase di hold). Nella fase sample/hold (S/H) si distinguono vari tempi dovuti agli effetti reattivi dei condensatori che vedremo presenti nel circuito S/H reale. In particolare tra la fase 1 (sample) e la fase 3 (hold), evidenziate in Figura 11, sussiste una fase 2 (in cui l'interruttore S/H si apre) con un relativo tempo di apertura) in cui il segnale non è ancora "congelato" e una fase 4 in cui il segnale in uscita dal circuito S/H impiega del tempo (tempo di acquisizione) per partire dal vecchio valore "congelato" e tornare a inseguire nuovamente il segnale in ingresso.
Inoltre nella fase di hold reale la tensione non rimane "perfettamente" costante come nella teoria ma decade con una certa velcità detta drop rate e la massima differenza di tensione che si registra in fase di hold viene definita appunto tensione di hold (ad esempio 1 mV).
Quest'ultimo aspetto dà luogo a quello che viene detto errore di guadagno di un circuito S/H che ne è il rapporto tra la variazione di tensione di uscita e di ingresso espresso in percentuale.

Infine riportiamo alcuni circuiti per effettuare il campionamento di un segnale analogico

L'interruttore è una porta di trasmissione (bidirezionale). Nello schema di principio (Figura 12A quando S=1 (e quindi H=0) l'interruttore si chiude e il condensatore si carica (se non ci sono resistenze) in un tempo nullo a un valore pari alla tensione in ingresso (fase di sample). Quando l'interruttore apre S=0 (e quindi H=1) il condensatore rimane carico all'ultimo valore di tensione registrato (fase di hold). Il valore costante può essere quindi convertito in digitale da un circuito a valle.
Nella pratica, per realizzare questo, si può utilizzare il circuito di Figura 12B: tuttavia la resistenza di uscita del primo buffer, pur essendo bassa, non è nulla e anche la porta di trasmissione non possiede una resistenza nulla e quindi il condensatore non si carica in un tempo trascurabile limitando così la banda passante.
Per aumentare la banda è opportuno ricorrere ad un unico anello di retroazione Figura 12C che, tuttavia, quando S=0 (fase di hold) si interrompe portando in saturazione il primo operazionale il che comporta dei ritardi. Per evitare questa situazione si ricorre al circuito di Figura 12D in cui i due diodi in antiparallelo mantengono chiuso l'anello anche in fase di hold.

La quantizzazione

Una volta campionato il segnale analogico ogni campione, affinchè possa essere memorizzabile, deve essere espresso in un numero massimo di cifre dipendente dalla risoluzione che si vuole ottenere e dalla memoria di lavoro a disposizione. Ad esempio nella misura di una circonferenza di diametro unitario il risultato sarebbe π che sappiamo essere esprimibile correttamente da un numero infinito di cifre di cui le prime sono:
π≈3,141592.....
e si sono trascurate tutte le cifre significative successive alla settima (nel caso il numero 2 contenuto in 3,141592).
Se per ragioni di memoria è possibile memorizzare solo le prime 4 cifre si devono trascurare le successive e si ottiene
π≈3,141.....
Questa è quella che viene detta approssimazione per troncamento in cui brutalmente si omettono le cifre a partire da una certa posizione in poi.
In alternativa si poteva approssimare π sempre alla sua quarta cifra significativa ma il valore di questa viene scelto per difetto o per eccesso a seconda del valore della cifra immediatamente successiva: se tale cifra è 0,1,2,3,4 si approssima per difetto; se invece è 5,6,7,8,9 si approssima per eccesso. Nella fattispecie la quinta cifra è "5" (verificate con una calcolatrice scientifica!) quindi π viene approssimato per eccesso a 3,142.
π≈3,142.....
Con questo esempio si è voluto chiarire che approssimando una cifra si risparmia memoria ma si perdono delle informazioni. Tuttavia questa perdita di "informazione" può essere tranquillamente tollerata nel caso che questa sia più piccola dell'incertezza di misura che ne indica l'accuratezza. Tornando all'esempio della misura di una circonferenza ci si chiede se ha senso indicare π≈3,141592..... se si ha un'accurateazza dello strumento di misura del 1%? Ovviamente no! E se la misura una volta acquisita, anche con un'acuratezza dello 0,1%, fosse affetta da disturbi che la falsificano del 10%, avrebbe senso tutta questa acuratezza? La risposta è sempre negativa.
Quindi facendo opportune scelte (dipendenti dalla risoluzione, dall'accuratezza e dai disturbi) sul minimo valore che si vuole discriminare in un'acquisizione (che viene chiamato quanto) possiamo arrivare a un notevole risparmio di memoria senza perdere in accuratezza.
Queste approssimazioni si chiamano quantizzazione o più rigorosamente: quantizzare significa associare a tutti i numeri reali compresi in un intervallo un unico valore tale valore può essere l'estremo inferiore dell'intervallo, quello superiore o come faremo di seguito il valore centrale dell'intervallo. Al quanto corrisponde l'ampiezza degli intervalli. Per non creare sovrapposizioni tra intervalli si considera, ad esempio, che l'estremo inferiore di un intervallo appartenga allo stesso intervallo mentre quello superiore appartiene all'intervallo successivo. In Figura 13 viene mostrata la quantizzazione di un intervallo di tensioni di valori compresi -8 V e 8 V (ciascun intervallo è pari a 2 V). Tale tipologia di quantizzazione viene detta non silenziata perchè non ha nessun intervallo con valore centrale nullo

Nel caso sia importante intercettare il valore di ingresso analogico nullo la suddivisione degli intervalli prima presentati non va bene perchè un valore di segnale prossimo allo zero sarebbe comunque approssimato a 1 o a -1. Si ricorre quindi alla quantizzazione silenziata che ha come valore centrale lo 0. Per ottenerla è sufficiente traslare verso l'alto o il basso gli intervalli della quantizzazione non silenziata di mezzo quanto. Così gli intervalli del nostro esempio non vanno più da -8 a 8 ma da -9 a 7 sempre con ampiezza di 2 V. In Figura 14 viene mostrata la suddivisione degli intervalli in caso di quantizzazione silenziata.

Il risultato di un campionamento e di una qunatizzazione viene mostrato in Figura 15 (campionamento di una sinusoide di frequenza 50 Hz ogni 2 ms e quantizzazione silenziata con intervalli -9,-7,-5,3,-1,1,3,5,7).

Ora si deve vedere come far corrispondere l'ampiezza di un intervallo ai bit a disposizione.
Chiamando con il termine V_FSR (Voltage Full Scale Range) la differenza tra la tensione massima e minima leggibili dal convertitore ADC, se si hanno N bit, il numero di intervalli, o livelli, L è pari a
L = 2^N
ovvero, in altri termini, il numero N di bit necessari per codificare L livelli è:
N = log₂L .
Visto che la gamma di tensioni analogiche da convertire, dalla più piccola alla più grande, è proprio V_FSR risulta che ciascun intervallo, ossia ogni quanto, è ampio Q:
Q = V_FSR2^N =V_FSR 2^-N
più è elevato il numero di bit minore sarà il quanto e quindi la risoluzione aumenta (si è in grado di distinguere e quindi collocare a livelli diversi tensioni analogiche vicine tra loro). Infatti comunemente la risoluzione di un convertitore ADC viene data direttamente dal numero di bit (in realtà sarebbe data più correttamente dal "quanto" poichè a tensioni V_FSR differenti corrispondono a parità di bit "quanti" di valore differente).
È chiaro che tensioni differenti ma interne allo stesso livello vengono quantizzate allo stesso valore (il valore centrale del livello in questione). Questo comporta un errore detto ε "errore di quantizzazione". Questo errore sarà massimo agli estremi dell'intervallo e nullo laddove il valore analogico da acquisire assume esattamente il valore centrale dell'intervallo. L'errore di quantizzazione assume un andamento simile a un'onda a "denti di sega" detto rumore di quantizzazione come mostrato in Figura 16.

In caso non ci siano ulteriori disturbi l'unico tipo di rumore presente in un ADC con N bit è il rumore di quantizzazione: all'aumento di un bit corrisponde il dimezzamento del quanto. L'errore ε_max di quantizzazione massimo risulta pari a mezzo quanto:
ε_max=12Q=12V_FSR2^N= V_FSR2^N+1
È opportuno definire un parametro per la qualità della conversione ADC detto rapporto segnale rumore (SNR signal-noise ratio) definito come la potenza del segnale P_s rispetto alla potenza P_N del rumore (ipotizzato come un onda a denti di sega).
SNR=P_sP_N
che in dB diviene:
SNR_dB=10 Log P_sP_N
ipotizzando il segnale sinusoidale di valore picco-picco V_pp la sua potenza P_s (ipotizzando una resistenza unitaria) risulta:
P_s=V²_pp8
mentre il rumore (con un andamento in funzione del tempo a "denti di sega") risulta avere una potenza pari a:
P_N=Q²2²·3=V²_FSR4·3·2^2N
Quindi il SNR_dB risulta:
SNR_dB=10 Log P_sP_N = 10 Log V²_pp8V²_FSR4·3·2^2N = 10 Log V²_pp2V²_FSR3·2^2N
che diventa:
SNR_dB=10 Log 3·2^2NV²_pp2·V²_FSR
applicando opportunamente le proprietà dei logaritmi, si ottiene
SNR_dB=20 LogV_ppV_FSR + 20·N·Log 2 -10Log 2 + 10Log 3
SNR_dB=20 LogV_ppV_FSR + 6,02N + 1,76
Nel caso particolare che la sinusoide in ingresso abbia un valore di picco-picco pari a V_FSR il rapporto segnale rumore diviene:
SNR_dB=6,02N + 1,76
che ne costituisce il valore massimo (è dunque meglio lavorare a "fondo scala" per massimizzare SNR). Quest'ultima equazione ci dice che per ogni bit che si aggiunge il SNR aumenta di circa 6 dB.
Viceversa per un dato rapporto segnale rumore SNR il corrispondente numero di bit risulta:
N=SNR_dB -1,766,02
Tuttavia gli ADC presentano anche altri tipi di rumori dovuti alla loro stessa circuiteria interna. Non si può aumentare a piacere il numero di bit pensando di aumentare il rapporto segnale rumore. Quindi il numero di bit effettivo (ENOB "Effective Number Of Bits"), cioè utile che non stia quindi a "risolvere" pure grandezze random che si sovrappongono al valore vero del misurando analogico da acquisire, è dato da:
ENOB=SNR_dB-1,766,02
dove, questa volta SNR fa riferimento al rapporto segnale rumore che tiene conto di tutti gli errori e i disturbi.
Aggiungere bit, raggiunto questo limite superiore, non ha senso e costituisce uno spreco di risorse.
Infine ad ogni valore centrale viene associata una sequenza o combinazione di bit (ad esempio, nel caso di ADC a 8 bit, un BYTE) questo tipo di sequenza può essere in binario naturale oppure in complemento a 2 (utile nel caso si voglia evidenziare il segno), BCD o gray e si rimanda alla pagina "codifica" per approfondimenti. In Figura 17 viene mostrata un'associazione degli intervalli in binario naturale e complemento a 2. Al bit meno significativo (Least Significant Bit "LSB") corrisponde il valore relativo a un quanto Q.
LSB ⇄ Q

In questo paragrafo abbiamo parlato solo di quantizzazione uniforme ossia con intervalli tutti di pari ampiezza; tuttavia nel mondo dell'elettronica e delle telecomunicazioni esistono altri tipi di quantizzazione come ad esempio quella logaritmica che allarga gli intervalli in corrispondenza di alte tensioni analogiche e li diminuisce in caso di conversione di piccole tensioni in modo da avere una risoluzione percentuale costante.

Campionamento e quantizzazione di una tensione variabile

Non sempre un circuito S/H è necessario. Ad esempio se una grandezza è costante può essere già trasmessa direttamente ad un convertitore ADC... è già come se fosse in "hold". Ci si chiede dunque quanto può variare al massimo una tensione affinchè possa essere acquisita correttamente senza un circuito S/H. Considerando il tempo di conversine t_conv la grandezza deve quindi rimanere, in questo lasso di tempo, costante o al più variare meno degli errori introdotti dal convertitore ADC stesso in particolare il rumore di quantizzazione.
Quindi, effettuando una "linearizzazione" del problema:
d vd t t_conv ≤ ε_max
In tal caso la variazione è accettabile perchè "coperta" dall'inevitabile errore di quantizzazione.
Facendo un esempio concreto supponendo una tensione sinusoidale di valore di picco-picco V_pp e di frequenza f:
v(t)=0,5V_ppsin( 2πf t)
la derivata rispetto al tempo vale:
d vd t=πfV_ppcos( 2πf t)
prendedone il valore massimo:
d vd t_MAX=πfV_pp
l'errore di quantizzazione massimo risulta invece pari a:
ε_max=V_FSR 2^-N-1
quindi dovendo essere:
d vd t t_conv ≤ ε_max
risulta quindi che, nel caso peggiore di massima variazione della tensione di ingresso,
πV_ppft_conv≤V_FSR 2^-N-1
quindi la frequenza f del segnale in ingresso deve essere inferiore a:
f≤V_FSRπV_pp2^N+1t_conv
nel caso ottimale V_FSR coincide con V_pp risulta quindi:
f≤1π2^N+1t_conv