I sistemi trifase

Introduzione

A livello di centrali di produzione dell'energia elettrica e dell'utilizzo di questa nelle potenze superiori al kW è vantaggioso l'uso di tensioni trifase. Questo termine indica che la tensone è prodotta in terne in cui ogni forza elettromotrice è sfasata di 120° rispetto alle altre. Da qui nasce il termine trifase. I vantaggi sono fondamentalmente il risparmio sui conduttori (come vedremo in questa sezione) e la possibilità di creare un "campo magnetico rotante" (dello studio del quale ci si occuperà nella trattazione delle macchine elettriche)

Figura 1

Andamento di una terna di tensioni trifase di frequenza 50 Hz e ampiezza 325 V (quindi di valore efficace 230 V).

Classificazione dei sistemi trifase

Si definisce sistema di tensioni trifase un insieme di tre tensioni isofrequenziali (aventi cioè la medesima frequenza). Se le tre tensioni sono uguali in modulo e sfasate di un terzo di periodo (120°) il sistema si dice simmetrico nelle tensioni. Un sistema trifase (e simmetrico) di tensioni può essere quello indotto negli avvolgimenti degli alternatori (infatti tali avvolgimenti sono disposti a 120° gli uni rispetto agli altri come mostrato in Figura 2).

Figura 2

Alternatore trifase: un magnete ruota a 50 giri al secondo e nei tre avvolgimenti sfasati di 120° vengono indotte tensioni sinusoidali sfasate di 120° con frequenza 50 Hz.

Figura 3

Sistema trifase: rappresentazione vettoriale delle tensioni in un sistema simmetrico E₁ = E₂ = E₃ e sfasamento reciproco di ± 120°.

Guardando sempre al generatore, i tre avvolgimenti sono a loro volta collegati tra loro in un punto (hanno tutti un capo in comune) oppure possono essere collegati uno di seguito all'altro. Nel primo caso si chiama "collegamento a stella" (e il punto in comune è chiamato centro stella o neutro), nel secondo caso (avvolgimenti la cui fine di uno è collegato all'inizio dell'altro) si parla di "collegamento a triangolo". In termini elettrotecnici si parla di Y per il collegamento a stella o D (in alternativa anche Δ) per il collegamento a triangolo. Nei generatori collegati a stella si rende disponibile un quarto filo collegato al centro stella chiamato "conduttore neutro" mentre gli altri conduttori sono detti di "fase". In un collegamento a triangolo non è invece possibile accedere al filo neutro. Vediamo una rappresentazione schematica del collegamento a stella in Figura 4, mentre in Figura 5 è schematizzato il collegamento del generatore a triangolo (in figura 6 una rappresentazione alternativa dei generatori trifase). I morsetti dei fili che contraddistinguono le fasi possono essere chiamati anche 1, 2, 3 oppure L₁, L₂, L₃ in alternativa U, V, W o infine R, S, T; il morsetto neutro è indicato dalla lettera N.

Figura 4

Alternatore trifase: rappresentazione schematica degli avvolgimenti delle tre fasi (simboleggiate ciascuno da un solenoide) e del loro collegamento a stella. Vengono inoltre rappresentate le tensioni di linea (dette concatenate) e di fase (dette stellate).

Figura 5

Alternatore trifase: rappresentazione schematica degli avvolgimenti delle tre fasi (simboleggiate ciascuno da un solenoide) e del loro collegamento a triangolo.

Figura 6

Alternatore trifase: rappresentazione alternativa
A- collegamento a stella.
B- collegamento a triangolo.

In riferimento al collegamento del generatore (in cui in ogni avvolgimento di fase è indotta una tensione di modulo E) a stella (Figura 4) definiamo "tensione di fase" (o tensione stellata) V_f la differenza di tensione tra il filo di fase (che, nel caso di collegamento a stella, coincide con il filo di linea) e il filo di neutro. Dall'analisi di Figura 4 e osservando che il filo di neutro ha lo stesso potenziale del centro stella risulta immediato
V_f1 = E₁
V_f2 = E₂
V_f3 = E₃
Viene definita tensione concatenata (o di linea) V₁₂, V₂₁, V₃₁ la differenza di tensione tra due fili di fase diversa. Quindi
V₁₂ = V_f1 - V_f2
V₂₁ = V_f2 - V_f3
V₃₁ = V_f3 - V_f1
Analogalmente si definiscono correnti di fase del generatore le correnti che percorrono i singoli avvolgimenti del generatore I_f1, I_f2, I_f3; mentre correnti di linea sono chiamate quelle che percorrono i conduttori collegati esternamente ai terminali delle tre fasi del generatore I₁, I₂, I₃;
Visto che il collegamento è a stella (le fasi sono in serie alle linee di collegamento) le correnti di linea coincidono con quelle di fase
I_f1 = I₁
I_f2 = I₂
I_f3 = I₃
Per il principio di Kirchhoff ai nodi sul filo di neutro si richiude la corrente I₀ che è la somma delle tre correnti di linea.
I₀ = I₁ + I₂ +I₃
In riferimento al collegamento del generatore a triangolo (Figura 5) si definisce tensione di fase la tensione ai capi di ogni avvolgimento di fase, ma in questo caso non c'è il conduttore di neutro quindi la tensione ai capi di ogni fase risulta uguale alla differenza di tensione tra i morsetti del generatore
V_f1 = V₁₂
V_f2 = V₂₃
V_f3 = V₃₁
ma tali tensioni sono proprio le tensioni concatenate (dette anche tensioni di linea).
Sempre in riferimento al generatore collegato a triangolo definiamo correnti di fase I_f1, I_f2, I_f3 quelle che percorrono gli avvolgimenti del generatore; mentre si definiscono correnti di linea I₁, I₂, I₃ quelle che sono prelevate ai morsetti del generatore e quindi dall'analisi di Figura 5, per il principio di Kirchhoff ai nodi, risultano essere la differenza vettoriale di due correnti di fase consecutive.
I₁ = I_f1 - I_f3
I₂ = I_f2 - I_f1
I₃ = I_f3 - I_f2

Relazione tra tensioni nel caso di simmetria

Nel paragrafo precedente si è visto che, nel caso di collegamento a stella, abbiamo due terne di tensioni tra loro dipendenti: le tensioni stellate (o di fase) che rappresentano la differenza di potenziale tra un filo di fase e il punto "centrale" di collegamento del generatore, e le tensioni concatenate che rappresentano la differenza di potenziale tra due fili di fase diversa. Nel caso di simmetria delle tensioni (come quelle prodotte da un alternatore trifase) le tensioni risultano uguali in modulo e sfasate di 120°. Questo è rappresentato dalla Figura 7 in cui la posizione dei vettori è individuata sul piano di Gauss.

Figura 7

La rappresentazione sul piano di Gauss delle tensioni stellate E₁_ , E₂_ , E₃_ e concatenate V₁₂_ , V₂₃_ , V₃₁_ .

Scriviamo in forma polare e cartesiana le tensioni stellate (sfasate reciprocamente di 120° e tutte di modulo E)
E₁ = E∠90° = Ecos90°+jsin90° = Ej
E₂ = E∠-30° = Ecos-30°+jsin-30° = E √ 3 2 - Ej 2
E₃ = E∠-150° = Ecos-150°+jsin-150° = -E √ 3 2 - Ej 2
Ricaviamo le tensioni di linea (concatenate)
V₁₂ = E₁ - E₂ = -E √ 3 2 + 3Ej 2 = E√3∠120°
V₂₃ = E₂ - E₃ = E√ 3 = E√3∠0°
V₃₁ = E₃ - E₁ = -E √ 3 2 - 3Ej 2 = E √3∠-120°
Da questi calcoli risulta che anche la terna delle tensioni concatenate (o di linea) rappresenta (se la terna delle tensioni di fase è simmetrica) anch'essa una terna simmetrica: cioè tre tensioni di uguale modulo
V = E√3
e sfasate tra loro di ±120°. Se ad esempio la tensione stellata è 230 V la tensione concatenata vale 400V.

Figura 8

La rappresentazione vettoriale della terna delle tensioni concatenate: se le tensioni stellate costituiscono una terna simmetrica anche le tensioni concatenate costituiscono una terna simmetrica di modulo radice di tre volte la tensione stellata.

Figura 9

La rappresentazione vettoriale della terna delle tensioni concatenate e stellate: viene evidenziato lo sfasamento di 30° tra le due terne.

La terna concatenata risulta in anticipo di 30° sulla terna stellata (V₁₂ rispetto a E₁, V₂₃ rispetto a E₂, V₃₁ rispetto a E₃). Inoltre risulta in caso di simmetria delle tensioni
E₁ + E₂ + E₃ = 0
questo vuol dire che in ogni istante la somma delle tensioni stellate in un sistema simmetrico è nulla (i vettori costruiscono una figura chiusa in particolar modo un "triangolo equilatero").
Questo risultato è estendibile anche alle tensioni concatenate
V₁₂ + V₂₃ + V₃₁ = 0

Carichi trifase equilibrati

Dopo aver trattato le tensioni, di fase e di linea, prodotte da un generatore trifase, si passa ora allo studio delle correnti che circolano in un carico trifase. Il carico supponiamo che sia di uguale impedenza in ciascuna fase: si generano così correnti di ugual modulo e sfasate dello stesso angolo. Tale tipo di carico viene definito "equilibrato nelle correnti".
Come per il generatore, anche un carico trifase può essere collegato a triangolo, a stella (e anche a stella con neutro).

Configurazione stella-stella (con neutro)

Il generatore è collegato a stella e così anche il carico (Figura 10). La corrente che circola in ogni fase è uguale alla tensione stellata diviso l'impedenza di ogni fase

Figura 10

Collegamento del carico a stella con neutro: sul filo di neutro si richiude la somma vettoriale delle correnti di linea (che in questo caso coincidono con quelle di fase) I₀ = I₁ + I₂ + I₃; nel caso di carico equilibrato I₀ = 0

I₁ = I_f1 = E₁ Z₁
I₂ = I_f2 = E₂ Z₂
I₃ = I_f3 = E₃ Z₃
Le tensioni sono tutte uguali in modulo E e sfasate reciprocamente di 120° ("simmetria delle tensioni"). Nel caso di carico equilibrato risulta inoltre che
Z₁ = Z₂ = Z₃ = Z = R + jX
In ogni fase del carico lo sfasamento tra tensione di fase e corrente di fase è uguale a
φ = arctan X R
I₁ = I_f1 = E∠0° Z∠φ = EZ ∠-φ
I₂ = I_f2 = E∠-120° Z∠φ = EZ ∠-120°-φ
I₃ = I_f3 = E∠+120° Z∠φ = EZ ∠120°-φ
Le correnti (di fase che coincidono con quelle di linea) risultano quindi tutte uguali in modulo pari a
I = EZ
e sfasate tra di loro di ±120°.
Lo sfasamento della corrente rispetto alla tensione è identico in tutte le fasi
cos φ = cos φ₁ = cos φ₂ = cos φ₃
Questo è illustrato in Figura 11

Figura 11

Diagramma vettoriale di correnti e tensioni: se le tensioni di fase costituiscono una terna simmetrica, e l'impedenza di ogni fase assume lo stesso valore (carico equilibrato), anche le correnti costituiscono una terna "simmetrica" (sono uguali in modulo e sfasate reciprocamente di 120°): questo vuol dire "correnti equilibrate".

Essendo le correnti, nel caso equilibrato, uguali tra di loro e sfasate di 120° la loro somma è nulla.
I₀ = I₁ + I₂ + I₃ = 0
In sintesi se il carico è a stella possiamo dire che le correnti di fase sono uguali a quelle di linea, che le tensioni di linea sono uguali alla differenza delle tensione di fase. Se la terna delle tensioni di fase è simmetrica le tensioni di linea (concatenate) sono √3 volte la tensione di fase. Se il carico è inoltre costituito da tre impedenze di ugual modulo e fase (carico equilibrato) anche le correnti di fase (e linea) costituiscono una terna simmetrica.

Configurazione stella-triangolo

In questo caso il generatore è collegato a stella mentra il carico a triangolo.

Figura 12

Collegamento del carico a triangolo: in questo caso non esiste la possibilità di richiusura delle correnti sul neutro.

La tensione sul carico è uguale alla tensione di linea (concatenata) che nel caso di simmetria delle tensioni si traduce, come già ricavato in precedenza, in
V₁₂ = E₁ - E₂ = E√3∠120°

V₂₃ = E₂ - E₃ = E√3∠0°

V₃₁ = E₃ - E₁ = E√3∠-120°
Le tensioni sulle fasi del carico sono tutte uguali in modulo E√3 e sfasate reciprocamente di 120° ("simmetria delle tensioni"). In generale per le correnti che circolano sulle fasi del carico
I_f1 = V₁₂ Z₁
I_f2 = V₂₃ Z₂
I_f3 = V₃₁ Z₃
Nel caso di carico equilibrato risulta inoltre che
Z₁ = Z₂ = Z₃ = Z = R + jX
In ogni fase del carico lo sfasamento tra tensione di fase e corrente di fase è uguale a
φ = arctan X R
I_f1 = E√3∠120° Z∠φ = E√3Z ∠120-φ
I_f2 = E√3∠0° Z∠φ = E√3Z ∠-φ
I_f3 = E√3∠-120° Z∠φ = E√3Z ∠-120-φ

Possiamo considerare il modulo delle correnti di fase nel caso simmetrico-equilibrato pari a
I_f = E√3Z
Per quanto riguarda le correnti di linea assorbite da un carico a triangolo
I₁ = I_f1 - I_f3
I₂ = I_f2 - I_f1
I₃ = I_f3 - I_f2
che nel caso simmetrico ed equilibrato si traduce, considerando φ = 0 senza nulla togliere alla generalità della ralazione tra correnti di linea e di fase, in
I₁ = I_fcos120° + jI_fsin120° - I_fcos-120° - jI_fsin-120° = 2I_fsin120° = I_f√3∠90°
I₂ = I_fcos0° + jI_fsin0° - I_fcos120° - jI_fsin120° = I_f√3∠-30°
I₃ = I_fcos-120° + jI_fsin-120° - I_fcos0° - jI_fsin0° = I_f√3∠210°

Figura 13

Collegamento del carico a triangolo: relazioni tra correnti di fase e di linea

Le correnti di linea risultano essere anche esse una terna simmetrica di modulo pari a
I = √3I_f = 3EZ
per la fase della corrente di linea si vede dalle precedenti equazioni che è in ritardo di 30° sulla corrente di fase che ha il pedice con lo stesso numero della corrente di linea.
Confrontando il modulo delle correnti di linea nel caso di carico a triangolo con quelle nel caso di carico a stella del paragrafo precedente risulta che le correnti di linea su impedenze collegate a stella è tre volte più piccolo del caso delle stesse impedenze collegate a triangolo; questo spiega perchè un metodo per limitare la corrente di linea dovuto allo spunto di un motore trifase consiste nel partire con il collegamento dei suoi avvolgimenti prima a stella e poi, terminato l'avviamento, passare a quello a triangolo.

Configurazione triangolo-triangolo

In questo caso (Figura 14) le tensioni sulle fasi del carico sono uguali a quelle delle fasi del generatore e coincidono tutte con le tensioni concatenate. Anche qui, se il carico è equilibrato e le tensioni simmetriche, la terna delle correnti è simmetrica Per gli altri risultati (sul calcolo delle correnti di fase e di linea) possiamo sfruttare quello che si è ottenuto nel caso stella-triangolo

Figura 14

Collegamento del carico a triangolo: le tensioni di fase del generatore (anch'esso a triangolo) e del carico coincidono con le concatenate.

Configurazione triangolo-stella

In questo caso (Figura 15) per calcolare le tensioni V₁₀, V₂₀, V₃₀ sulle fasi del carico dobbiano trovare la tensione tra il punto O (centro stella del carico) e i punti 1,2,3 del generatore. Si devono scrivere equazioni di maglia

Figura 15

Collegamento del carico a stella: le tensioni di fase del generatore (a triangolo) coincidono con le concatenate, mentre si deve conoscere il potenziale del punto 0 per calcolare le tensioni di fase sul carico.

V₁₂ = V₁₀ - V₂₀
V₂₃ = V₂₀ - V₃₀
V₃₁ = V₃₀ - V₁₀
La terza equazione è linearmente dipendente dalle prime 2, quindi non serve: al suo posto mettiamo
I₁ + I₂ + I₃ = 0
perché manca il quarto conduttore di neutro.
Quest'ultima equazione la riscriviamo sfruttando la legge di Ohm
V₁₀Z₁ + V₂₀Z₂ + V₃₀Z₃ = 0
Nel caso di carico equilbrato
Z₁ = Z₂ = Z₃ = Z
quindi l'equazione delle correnti si traduce in
V₁₀ + V₂₀ + V₃₀ = 0
Ricavando, ad esempio V₂₀
V₂₀ = -V₁₀ - V₃₀
che va messa a sistema
V₂₀ = -V₁₀ - V₃₀
V₁₂ = V₁₀ - V₂₀
V₂₃ = V₂₀ - V₃₀
quindi
V₁₂ = V₁₀ + V₁₀ + V₃₀ = 2V₁₀ + V₃₀
V₂₃ = -V₁₀ - V₃₀ - V₃₀ = -V₁₀ - 2V₃₀
Eliminando V₃₀
2V₁₂ + V₂₃ = 3V₁₀
riscritta
3V₁₀ = 2V₁₂ + V₂₃
mettendo i numeri complessi delle tensioni simmetriche di modulo V e prendendo a fase nulla V₁₂
3V₁₀ = 2V - 0,5V - 0,5jV√3
3V₁₀ = 1,5V - 0,5jV√3
risolvendo quest'ultima
V₁₀ = V√3∠-30°
A questo risultato si poteva pervenire analizzando il diagramma vettoriale di Figura 16 ricordando le proprietà e le relazioni tra i lati e le altezze dei triangoli equilateri

Figura 16

Collegamento del carico a stella e del generatore a triangolo: se il sistema è simmetrico ed equilibrato il punto 0 è il centro di simmetria di un triangolo equilatero.

Trasformazioni stella-triangolo triangolo stella

Dalla teoria delle matrici associate ai quadripoli possiamo ottenere quadripoli collegati internamente in modo diverso ma che ai morsetti se sottoposti alle stesse tensioni assorbono le stesse correnti. Quadripoli di questo tipo si dicono equivalenti. Quindi è possibile trasformare un carico collegato a stella (di impedenza Z₁ Z₂ Z₃) in uno collegato a triangolo (di ammettenza Y₁₂ Y₂₃ Y₃₁) e viceversa. (NB: si ricorda che in genearale Y=Z^-1).

Figura 17

Trasformazione stella-triangolo

Note le ammettenze del triangolo, si trovano le impedenze del triangolo e le si trasformano nelle impedenze stella:
Z₁ = Z₁₂Z₃₁ Z₁₂+Z₂₃+Z₃₁
Z₂ = Z₂₃Z₁₂ Z₁₂+Z₂₃+Z₃₁
Z₃ = Z₃₁Z₂₃ Z₁₂+Z₂₃+Z₃₁
Note le impedenze stella, si trovano le ammettenze della stella e le si trasformano nelle ammettenze del triangolo:
Y₁₂ = Y₁Y₂ Y₁+Y₂+Y₃
Y₂₃ = Y₂Y₃ Y₁+Y₂+Y₃
Y₃₁ = Y₃Y₁ Y₁+Y₂+Y₃
Un buon trucco mnemonico può essere ricordarsi che le formule sono ugualmente strutturate (un prodotto tra il valore di due componenti diviso la somma dei valori di tutti i componenti) ma per il triangolo si usano le ammettenze mentre per la stella le impedenze, il pedice del triangolo è composto da due numeri mentre quello della stella solo da uno (ogni numero rappresenta il rispettivo morsetto di collegamento alla rete a monte), nell'espressione di destra vanno gli stessi pedici (singoli o doppi) che contraddistinguono l'espressione di sinistra.
Si ricorda che queste relazioni valgono ai morsetti del carico (ossia è una relazione tra tensioni e correnti di linea): per conoscere effettivamente quanta corrente passa su ogni fase si deve conoscere effettivamente il collegamento della fase.
Infine se il carico è equilibrato le relazioni precedenti si semplificano
Z_y = Z_Δ3
Y_Δ = Y_y3

Studio del circuito monofase equivalente

Se l'alimentazione è simmetrica e il carico equilibrato, come abbiamo visto nei paragrafi precedenti tutte le grandezze di ogni terna (tensioni di fase e concatenate, correnti di fase e di linea) si ripetono uguali e sfasate di 120°. Questo lo si vede dai calcoli e dai diagrammi vettoriali. Quindi si può studiare una singola fase e replicare i risultati per le altre due.

Figura 18

Collegamento di un carico equilibrato qualunque

Il circuito di Figura 18 di cui si ignora il "collegamento interno" viene così studiato:

Si ipotizza che il carico sia collegato a stella
Si considera ogni fase del carico alimentata dalla tensione stellata del generatore pari alla concatenata diviso √3
Il carico è ricondotto alla configurazione di "stella" (se fosse a triangolo lo si trasforma come visto nel precedente paragrafo)
Due o più carichi equilibrati collegari a stella sono tra loro in parallelo fase per fase.
Si studia il circuito monofase alimentato dalla tensione stellata e avente come carico l'impedenza equivalente di una fase collegata a stella

Studio del circuito monofase equivalente: esempio numerico

Dato il seguente circuito trifase (simmetrico ed equilibrato) calcolare I, I₁, I₂, I_f

Figura 19

Esempio numerico: esercizio e disegno tratto da "Elettronica ed Elettrotecnica", Conte, Hoepli

Per prima cosa si trasforma il triangolo di Z₁ in stella
Z_1y = Z₁3
Z_1y = 20 - 10j
così ci si riconduce alla seguente Figura 20

Figura 20

Esempio numerico: esercizio e disegno riadattato da "Elettronica ed Elettrotecnica", Conte, Hoepli

Essendo i carichi simmetrici ed equilibrati le tensioni sulle fasi della terna Z_1y e Z₂ sono uguali: costituiscono una terna con gli stessi vertici quindi 0' e 0'' coincidono: le due stelle così ottenute sono in parallelo (anche se fisicamente 0' e 0'' non hanno nessun collegamento elettrico).
Ora si passa al circuito equivalente monofase

Figura 21

Esempio numerico: esercizio e disegno tratto da "Elettronica ed Elettrotecnica", Conte, Hoepli

Il centro stella del generatore 0, il centro stella del primo carico 0' e del secondo carico 0'' sono per ragioni di simmetria allo stesso potenziale pur non essendo uniti da nessun conduttore, per questo si usa una linea tratteggiata.
Z_eq = R + Z_1y // Z₂ = R + Z_1yZ₂Z_1y+Z₂
Z_eq = 5 + (20 - 10j)(40 + 25j)(20 - 10j)+(40 + 25j)
Z_eq = 5 + (20 - 10j)(40 + 25j)60 + 15j
Z_eq = 5 + 100j + 105060 + 15j = 300 + 75j + 100j + 105060 + 15j = 1350 + 175j 60 + 15j
Z_eq = 1350 + 175j 60 + 15j 60 - 15j 60 - 15j
Z_eq = (1350 + 175j)(60 - 15j) 3825
Z_eq = 21,9 - 2,55j = 22,0 Ω ∠-6,64°
Sempre in riferimento al circuito monofase equivalente la corrente di linea è pari a
I = EZ_eq dove E vale rispetto alla concatenata V
E = V√3 = 220 Volt
I = 22022 ∠-6,64 = 10 A ∠6,64°
Per calcolare I₁ e I₂ ricorriamo alla formula del partitore tra due impedenze
I₁ = Z₂Z_1y + Z₂ I
I₁ = 40 + j2560 + 15jI
scrivendo in forma polare
I₁ = 47,2 ∠32,0°61,8 ∠14,0° 10 ∠6,64 = 7,64 A ∠24,6°
analogalmenente
I₂ = Z₁Z_1y + Z₂ I

Che in forma cartesiana è
I₂ = 20 - 10j60 + 15jI
e in forma polare
I₂ = 22,4 ∠-25,6°61,8 ∠14,0° 10 ∠6,64 = 3,62 A ∠-33,0°
Infine per calcolare la corrente I_f sulla fase del triangolo: per il modulo
I_f = I₁√3
I_f = 4,4 A
Mentre per la fase si è già dimostrato che le correnti della fase n.1 sono in anticipo di 30° sulla corrente di linea n.1
I_f1= 4,4 A ∠54°.
I risultati si replicano sfasando di ±120° per tutte le altre fasi non direttamente studiate

Cenni al caso di carico non equilibrato

Se il carico non è equilibrato si deve procedere a uno studio "fase per fase" come se si trattasse di tre circuiti monofase indipendenti. Se il collegamento è a stella con neutro Figura 22, nel conduttore di neutro (che potrebbe avere anche un'impedenza non trascurabile Z₀) si richiude la somma vettoriale delle tre correnti di fase.

Figura 22

Carico non equilibrato: nel neutro si chiude la somma vettoriale delle correnti di fase/linea.

Si possono ottenere le quattro correnti con Millman trovando prima la differenza di potenziale tra il centro stella del generatore 0 e dei carichi 0'

V_0'0 = Y₁E₁ + Y₂E₂ + Y₃E₃Y₁ + Y₃ + Y₃ + Y₀
In questa relazione Y₁, Y₂, Y₃, Y₀ sono le ammettenze (reciproco delle impedenze) dei conduttori di fase e di neutro.
Le correnti si calcolano

I₁ = Y₁( E₁ - V_0'0)

I₂ = Y₂( E₂ - V_0'0)

I₃ = Y₃( E₃ - V_0'0)

I₀ = Y₀V_0'0

Se non c'è il filo di neutro come in Figura 23 le relazioni si semplificano

Figura 23

Carico non equilibrato senza neutro.

V_0'0 = Y₁E₁ + Y₂E₂ + Y₃E₃Y₁ + Y₃ + Y₃
Le correnti sono solo tre

I₁ = Y₁( E₁ - V_0'0)

I₂ = Y₂( E₂ - V_0'0)

I₃ = Y₃( E₃ - V_0'0)

Se il carico è a triangolo Figura 24 le correnti in ogni fase sono pari alla tensione di linea divisa per l'impedenza della fase

Figura 24

Carico non equilibrato senza neutro con circuito a stella.

I_f1 = V₁₂ Z₁
I_f2 = V₂₃ Z₂
I_f3 = V₃₁ Z₃
e le correnti di linea
I₁ = I_f1 - I_f3

I₂ = I_f2 - I_f1

I₃ = I_f3 - I_f2

Potenza nei sistemi trifasi

Il metodo per il calcolo della potenza attiva e reattiva cambia a seconda che il sistema trifase sia a tre o a quattro fili e se è equilibrato nelle correnti. Analizziamo di seguito i singoli casi ricordando che lo strumento di misura per le potenze è il Wattmetro, strumento a quattro morsetti: con una bobina voltmetrica (sensibile alla tensione) e una bobina amperometrica (sensibile alla corrente). Si predilige l'inserzione della bobina voltmetrica a monte di quella amperometrica in caso di tensioni alte e correnti basse (alte impedenze di carico), viceversa si preferisce l'inserzione a valle della bobina voltmetrica rispetto a quella amperometrica in caso di tensioni basse e correnti alte (basse impedenze di carico).
In generale possiamo dire che la potenza attiva assorbita da un sistema trifase è la somma delle potenze attive assorbita da ciascuna fase (stesso discorso per la potenza reattiva che risulta la somma della potenza reattiva scambiata con ogni fase). Quest'ultimo risultato è un'applicazione del teorema di Boucherot per i sistemi trifase Figura 25.

Figura 25

Potenza attiva e reattiva di un sistema trifase.

P = P1 + P2 + P3 ;
Q = Q1 + Q2 + Q3 ;
S² = (P1 + P2 + P3)² + (Q1 + Q2 + Q3)² ;
Se il sistema è simmetrico ed equilibrato possiamo trovare la potenza di una fase (supponiamola collegata a stella) e moltiplicarla per 3:
Collegamento a stella
P = 3 EIcos φ
Dove E è il modulo della tensione di fase (stellata) mentre I è il modulo della corrente di fase coincidente con la corrente di linea.
Riferendoci alla tensione concatenata di modulo V
E = V√3
Risulta che
P = √3V I cos φ
A quest'ultima formula si poteva giungere ipotizzando il carico collegato a triangolo in cui la tensione di fase è proprio la tensione concatenata ma la corrente di fase è la corrente di linea diviso √3
Formule simili, in caso di sistema simmetrico ed equilibrato, valgono per le potenze reattive:
Q = √3V I sin φ

Mentre non ci sono dubbi su come collegare i morsetti amperometrici (che devono misurare la corrente), i morsetti Voltmetrici possono essere collegati in diverso modo come mostrato in Figura 26 in cui "M" è detto "ponte maggiore" e la bobina voltmetrica è collegata tra la fase della bobina amperometrica (1) e la fase precedente (3), nel "ponte minore" "m" la bobina voltmetrica è collegata tra la la fase della bobina amperometrica (1) e la fase successiva (2). Infine q (detto ponte di "quadratura") la bobina voltmetrica viene collegata tra la fase successiva (2) e la fase precedente (3). Un altro modo usato per indicare il collegamento del wattmetro è esplicitare nei pedici il collegamento della bobina voltmetrica: ad esempio W₁₂ indica che la bobina voltmetrica è collegata tra la fase 1 e 2 (mentre si sottointende che la bobina amperometrica è collegata alla fase 1 cioè alla fase indicata dal primo pedice... questa notazione non si può usare per il wattmetro q)

Figura 26

Tre modi diversi di collegare i morsetti voltmetrici: M è detto "ponte maggiore" e la bobina voltmetrica è collegata tra la fase della bobina amperometrica (1) e la fase precedente (3), nel ponte minore "m" la bobina voltmetrica è collegata tra la la fase della bobina amperometrica (1) e la fase successiva (2). Infine q (detto ponte di "quadratura") la bobina voltmetrica viene collegata tra la fase successiva (2) e la fase precedente (3).

Indicando con il simbolo • il prodotto scalare (operatore che esegue il prodotto dei moduli della tensione misurata, della corrente e del coseno dello sfasamento tra le due grandezze), il ponte maggiore M₁ della prima fase misura
M₁ = W₁₃ = V₁₃ • I₁
Il ponte minore m₁ della prima fase misura
m₁ = W₁₂ = V₁₂ • I₁
Mentre il ponte in quadratura q₁
q₁ = V₂₃ • I₁
Dalle relazioni tra le tensioni (V₂₃ = V₁₃ - V₁₂ ) risulta evidente che l'indicazione del "ponte di quadratura" della i-esima fase q_i vale
q_i = M_i - m_i

Potenza attiva nei sistemi trifase a quattro conduttori

Applicando la definizione di potenza di un sistema trifase come somma delle potenze delle singole fasi possiamo collegare i wattmetri come in Figura 27

Figura 27

Sistemi trifase con neutro: la potenza attiva del sistema è la somma delle tre letture

P = W_1N + W_2N + W_3N

Potenza attiva nei sistemi trifase a tre conduttori

La potenza di ogni fase è pari al prodotto della corrente che passa nel conduttore e la tensione moltiplicato per il coseno dello sfasamento: questo si chiama in fisica "prodotto scalare". Nei sistemi a tre conduttori non esiste un riferimento assoluto per le tensioni come poteva essere il conduttore neutro. Qui dimostriamo che nei sistemi a tre conduttori la potenza attiva assorbita è indipendente dal potenziale del "centro stella" considerato.

Figura 28

Dimostrazione che la potenza attiva nei sistemi a tre conduttori è indipendente dal centrostella considerato.

Calcoliamo la potenza rispetto al punto A di Figura 28
P(A) = E_1A • I₁ + E_2A • I₂ + E_3A • I₃
dove il simbolo • rappresenta il prodotto scalare (cioè il prodotto algebrico dei moduli per il coseno dello sfasamento dei vettori indicanti tensione e corrente).
Calcoliamo ora la potenza rispetto al punto B sempre di Figura 28
P(B) = E_1B • I₁ + E_2B • I₂ + E_3B • I₃
Ora E_1B, E_2B e E_3B possono essere espresse dalla somma della rispettiva tensione rispetto ad A aggiungendo la differenza di tensione tra A e B
E_1B = E_1A + E_AB
E_2B = E_2A + E_AB
E_3B = E_3A + E_AB
Quindi
P(B) = E_1A • I₁ + E_AB • I₁ + E_2A • I₂ + E_AB • I₂ + E_3A • I₃ + E_AB • I₃
Raccogliendo opportunamente
P(B) = E_1A • I₁ + E_2A • I₂ + E_3A • I₃ + E_AB • (I₁ + I₂ + I₃)
ma la somma delle tre correnti in un sistema a tre fili è sempre nulla! Questo lo si evince dal principio di Kirchhoff ai nodi. Quindi risulta
P(B) = E_1A • I₁ + E_2A • I₂ + E_3A • I₃ = P(A)
In un sistema a tre fili la potenza è indipendente dal riferimento delle tensioni che può essere scelto così arbitrariamente: può essere scelto come riferimento anche una fase stessa dando luogo all'inserzione Aron (che sarà trattata tra poco).
Per il momento possiamo dire che per calcolare la potenza è sufficiente sommare (tenendo conto del segno!) le tre indicazioni dei wattmetri collegati come in Figura 29
P = W_1A + W_2A + W_3A

Figura 29

Collegamento con creazione di un "centro stella artificiale" in A. La potenza totale è la somma delle indicazioni

Tenendo presente, come prima dimostrato, che in un sistema trifase la potenza (intesa come somma dei wattmetri) non dipende dal riferimento della tensione (nel nostro caso A), possiamo scegliere A coincidente con una fase (ad esempio fase 3). L'indicazione del wattmetro su questa fase vale identicamente 0 (è il prodotto di una corrente non nulla per una tensione nulla). Questo tipo di inserzione si chiama "Inserzione Aron" Figura 30.
P = W₁₃ + W₂₃
In altri termini la potenza attiva di un sistema trifase a tre fili è la somma della lettura di un ponte maggiore su una fase e di un ponte minore sulla fase successiva.

Figura 30

Inserzione Aron: la potenza attiva di un sistema trifase si ottiene dalla somma delle letture dei due Wattmetri.

Anzichè la fase 3 come riferimento poteva essere presa pure la 1 e la 2: le indicazioni sicuramente cambiano ma non cambia la loro somma.

Potenza Reattiva nei sistemi trifase simmetrici ed equilibrati

Per misurare la potenza rattiva in un sistema trifase simmetrico ed equilibrato (come quello indicato dal diagramma vettoriale di Figura 31) indipendentemente dal numero di fili (3 o 4 perchè nel quarto filo non passa comunque corrente) si ricorre sempre all'inserzione di Figura 30 ma qui risulta che la potenza reattiva Q è data dalla relazione
Q = √3( W₁₃ - W₂₃)

Figura 31

Diagramma vettoriale sistema trifase simmetrico-equilibrato: moduli delle tensioni, moduli delle correnti e rispettivi sfasamenti φ sono uguali tra le fasi.

Riportiamo una breve dimostrazione: Se il sistema è simmetrico ed equilibrato il ponte maggiore montato su ciascuna fase misura quanto i ponti maggiori sulle altre fase (i moduli e la fase dei rispettivi prodotti i scalari sono identici per ipotesi). Così i ponti minori misurano tra di loro la stessa potenza. Su una data fase la differenza tra un ponte maggiore e il minore (montato sulla stessa fase) è data da
W₁₃ - W₁₂ = I₁ • V₁₃ - I₁ • V₁₂
W₁₃ - W₁₂ = I₁ • (V₁₃ - V₁₂) = I₁ • V₂₃
Il sistema è simmetrico quindi i moduli delle tensioni stellate valgono tutti
E = E₁₀ = E₂₀ = E₃₀
E la relazione tra i moduli delle concatenate (tutti uguali) e delle stellate è
V = V₁₃ = V₂₃ = V₃₁ = √3 E .
Essendo il sistema equilibrato
I = I₁ = I₂ = I₃
φ = φ₁ = φ₂ = φ₃
Mentre lo sfasamento (necessario per calcolare il prodotto scalare che dà luogo alla potenza) della V₂₃ rispetto alla I₁ risulta dalla Figura 31 pari a 90°-φ .
In definitiva
W₁₃ - W₁₂ = I₁ • V₂₃ = I₁ V₂₃ cos (90° - φ) = √3 E I sin φ
Questo lo si può ripetere per tutte le altre fasi per cui
W₂₁ - W₂₃ = √3 E I sin φ
W₃₂ - W₃₁ = √3 E I sin φ
Sommando membro a membro le tre equazioni
3√3 E Isin φ = W₁₃ - W₁₂ + W₂₁ - W₂₃ + W₃₂ - W₃₁
Il primo membro è √3Q (la potenza reattiva) mentre per il secondo membro, essendo le indicazioni dei ponti maggiori tutte uguali tra loro e stesso dicasi delle indicazioni dei ponti minori, risulta
3(W₁₃ - W₂₃)
In cui si sono scelti gli stessi ponti dell'inserzione Aron. Quindi
Q = √3(W₁₃ - W₂₃)

Potenza Reattiva nei sistemi trifase a tre fili simmetrici con carico qualunque

Se si vuole misurare la potenza reattiva Q in un sistema trifase a tre fili simmetrico ma non equilibrato si ricorre all'inserzione dei Wattmetri come in Figura 32

Figura 32

Misura di potenza reattiva con inserzione Righi

La potenza reattiva Q è data dalla seguente formula
Q = W₁₃ - W₂₃ + 2q₃√3

Potenza Reattiva nei sistemi trifase a qualunque a quattro fili

Al termine della rassegna dei metodi di misura della potenza trifase proponiamo un possibile collegamento per carichi generici e sistemi non necessariamente simmetrici per il calcolo della potenza reattiva Figura 33

Figura 33

Misura di potenza reattiva con sistemi trifase qualunque a tre fili

Di ogni fase è nota dalla lettura diretta dei wattmetri di fase la rispettiva potenza attiva assorbita da ogni fase; facendo il prodotto dell'amperometro su ogni linea con la tensione rispetto al neutro è nota la potenza apparente di ogni fase.
P₁ = W_1N
P₂ = W_2N
P₃ = W_3N
S₁ = E₁₀I₁
S₂ = E₂₀I₂
S₃ = E₃₀I₃
La potenza apparente di ogni fase rappresenta l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente come cateti la potenza attiva e reattiva come indicato in Figura 34

Figura 34

Misura di potenza reattiva con sistemi trifase qualunque a quattro fili

Q₂ = √S₂² - P₂²

Q₃ = √S₃² - P₃²

Q_tot = Q₁ + Q₂ + Q₃

P_tot = P₁ + P₂ + P₃

Rifasamento dei sistemi trifase

I carichi industriali trifase sono tipicamente ohmico-induttivi (basti pensare ad un motore elettrico che essenzialmente è costituito da avvolgimenti su nuclei di ferro) quindi non assorbono solo la potenza attiva P necessaria all'utente per compiere un lavoro, ma anche potenza reattiva Q dovuta alla presenza dell'induttanza. I generatori delle centrali elettriche devono essere dimensionati per la potenza apparente S
S = √ P²+Q²
Inoltre il transito di una corrente induttiva sulla linea di collegamento tra la centrale e l'utente genera cadute di tensione sulla linea e perdite "inutili" di potenza. È però possibile rimediare a questo comportamento (in gergo si dice anche "carico swattato") fornendo "in loco" la necessaria potenza reattiva richiesta dalla componente induttiva. Questa operazione si chiama "rifasamento".
A fronte della richiesta di potenza attiva P viene richiesto dal carico anche una componente reattiva Q data da
Q = P sin φ
Tale potenza può essere fornita in parte da un condensatore (a causa della reattanza negativa della capacità la potenza reattiva dovuta al condensatore ha segno opposto della potenza reattiva dell'induttanza: convenzionalmente l'induttanza "assorbe potenza reattiva positiva" mentre la capacità "assorbe potenza reattiva negativa" il che, convenzionalmente, equivale ad erogarla) che riduce l'angolo di sfasamento a φ_rif dove la dicitura "rif" intende il nuovo sfasamento. Questo è illustrato dalla Figura 35

Figura 35

Rappresentazione geometrica dei triangoli di potenza in assenza e presenza di rifasamento.

Nei sistemi trifase quanto esposto si traduce in un dimensionamento di una batteria di condensatori collegati a stella o a triangolo.
Condensatori collegati a stella:
Indicando con V_f il modulo della tensione di fase a cui sono sottoposti i condensatori
3ωC V_f² = P(tan φ - tan φ_rif)
C = P(tan φ - tan φ_rif)3ωV_f²

Figura 36

Collegamento dei condensatori a stella (A) e a triangolo (B)

Se i condensatori sono collegati a stella (Figura 36-A) e riferendoci al modulo della concatenata V
V_f = V√3
C_Y = P(tan φ - tan φ_rif)ωCV²
Se i condensatori sono collegati a triangolo (Figura 36-B) e riferendoci al modulo della concatenata V
V_f = V
C_Δ = P(tan φ - tan φ_rif)ω3CV²
Questo vuol dire che, a parità di potenza reattiva da compensare i condensatori collegati a triangolo possono essere 3 volte più piccoli (e quindi economici) dei condensatori collegati a stella. In bassa tensione si preferisce collegare a triangolo i condensatori, in media tensione (dove le tensioni sono più elevate) conviene il collegamento a stella.

Confronto e vantaggi dei sistemi trifase rispetto a sistemi monofase e a corrente continua

Alla fine del capitolo possiamo stilare un bilancio dei vantaggi dei sistemi trifase almeno nel caso di tensioni simmetriche e correnti equilibrate

Potenza istantanea costante
Minori perdite di trasporto a parità di volume conduttore
Possibilità di generare un campo magnetico rotante (qui non approfondito)

Potenza istantanea costante nei sistemi simmetrici ed equilibrati

Ipotizziamo il sistema simmetrico ed equilibrato e ragioniamo nel dominio del tempo e studiamo la potenza istantanea somma delle potenze istantanee in ogni fase

e₁(t) = √2E_eff cos (ωt)

e₂(t) = √2E_eff cos (ωt - 2π/3)

e₃(t) = √2E_eff cos (ωt + 2π/3)

i₁(t) = √2I_eff cos (ωt + φ)

i₂(t) = √2I_eff cos (ωt + φ - 2π/3)

i₃(t) = √2I_eff cos (ωt + φ + 2π/3)

facendo il prodotto della corrente di ogni fase con la rispettiva tensione e applicando la formula di Werner
cos α cos β = 0,5 cos (α - β) + 0,5 cos (α + β)

p₁(t) = e₁(t) i₁(t) = E_effI_eff + E_effI_eff cos (2 ωt)

p₂(t) = e₂(t) i₁(t) = E_effI_eff + E_effI_eff cos (2 ωt - 4π/3)

p₃(t) = e₂(t) i₁(t) = E_effI_eff + E_effI_eff cos (2 ωt + 4π/3)

p(t) = p₁(t) + p₂(t) + p₃(t) = 3E_effI_eff + ~~E_effI_effcos (2 ωt) + E_effI_effcos (2 ωt - 4π/3) + E_effI_effcos (2 ωt + 4π/3)~~
L'ultima sommatoria è cancellata perchè, costituendo una terna simmetrica con pulsazione 2ω, ha risultante nulla. La potenza istantanea risulta quindi costante e pari a
p(t) = 3E_effI_eff

Minori perdite di trasporto a parità di volume conduttore

Confrontiamo la potenza dissipata P_D in rete a parità del volume di conduttore, di valore efficace della tensione (e quindi di costi infrastrutturali di conduttori ed isolamento) e di potenza da trasportare all'utenza finale nei casi di sistema a corrente continua P_DDC, sistema monofase P_DM, e trifase P_DT.
n numero di conduttori (nei sistemi a corrente continua e monofase vale 2, nei trifase vale 3)
L lunghezza del collegamento
S sezione dei conduttori
R resistenza dei conduttori
ρ resistività dei conduttori
τ volume dei conduttori
τ = nlS
R = ρLS
P_D = nρLI²S
P_D = n²ρL²I²τ
Sostituiamo I in funzione della potenza P da trasportare
nel caso di corrente continua
I_DC = P/V
nel caso di corrente alternata monofase
I_M = PV cos φ
nel caso di corrente alternata trifase
I_T = P√3V cos φ

La potenza dissipata sulle linee in corrente continua risulta
P_DDC = n²ρL²P²τV² = 4 K
dove K vale
K = ρL²P²τV²
Nel caso di sistema monofase
P_DM = n²ρL²P²τV²cos²φ = 4 Kcos²φ;
Nel caso di sistema trifase
P_DT = n²ρL²P²3τV²cos²φ = 3 Kcos²φ;
In Figura 37 il confronto tra potenze dissipate nei tre tipi di sistemi al variare del cosφ risulta evidente che il sistema trifase fa risparmiare il 25% di perdite rispetto al monofase e risulta vantaggioso rispetto ai sistemi in corrente continua per
cosφ > √32

Figura 37

Confronto tra potenze dissipate al variare del cosφ per sistemi a corrente continua (blu), monofase (verde) e trifase (rosso) (Fonte Università di Bologna, Ingegneria Elettrica).

Possibilità di generare un campo magnetico rotante

Qui ci si limita ad enunciare il teorema di Galileo Ferraris che sarà approfondito nei capitoli sulle macchine rotanti.
Teorema:
Il campo magnetico risultante di tre campi alternativi prodotti da tre correnti sinusoidali di pari ampiezza e sfasati tra loro 120° (simmetria delle correnti) e disposto simmetricamente nello spazio risulta essere un campo magnetico rotante di ampiezza pari a 3/2 il campo magnetico prodotto da un'unica fase
Avendo così creato un campo magnetico rotante, risulta intuitivo che questo metterà in rotazione un magnete permanente (motore sincrono) o degli avvolgimenti percorsi da corrente (motore asincrono). A tal proposito si rimanda a uno studio approfondito in sezioni successive.